Calculs & validation — Le Moteur

Hypothèses de calcul

Deux paramètres géométriques ne sont pas fixés par le cahier des charges — on les pose ici pour rendre le calcul concret, à ajuster à ton propre prototype :

Paramètre	Symbole	Valeur retenue
Rayon moyen de placement des aimants	r	0,10 m
Entrefer au moment de la répulsion	d	2 mm

1. Validation de l'annulation de flux

Approximation solénoïde + noyau (loi d'Ampère, milieu linéaire non saturé) : le champ créé au cœur du noyau par la bobine de compensation est

H = N·I / L_b

Avec N = 500 spires, I = 0,11 A, L_b = 10 mm (5 rondelles M10 de 2mm empilées — exactement la longueur de l'aimant N42, voir Modules & noyau imbriqué) :

H = (500 × 0,11) / 0,010 = 5500 A/m

Perméabilité absolue du noyau SMC de référence (μᵣ ≈ 200) : μ = μᵣ·μ₀ = 200 × 4π×10⁻⁷ ≈ 2,51×10⁻⁴ H/m. Induction générée :

B = μ·H ≈ 2,51×10⁻⁴ × 5500 ≈ 1,38 T

✓ Ordre de grandeur cohérent — 1,38 T calculé contre B_r ≈ 1,3 T pour le N42 : l'écart (≈ 6 %, cette fois au-dessus de B_r) tient à la variabilité réelle de μᵣ et de B_r d'un échantillon à l'autre — et au fait que ce modèle linéaire ignore la saturation. C'est exactement pour cette raison que le chapitre Modules & noyau imbriqué calibre chaque bobine expérimentalement au bip-mètre Hall plutôt que de fixer N par ce seul calcul théorique — le calcul valide l'ordre de grandeur, la mesure fixe la valeur exacte.

⚠️ Noyau réel ≠ noyau de ce calcul — le prototype « Made In Zion » remplace le noyau SMC coulé par un empilement de 5 rondelles M10 isolées (voir Modules & noyau imbriqué). La perméabilité réelle de cet empilement (acier zingué, isolation au vernis, serrage) n'est pas caractérisée aussi précisément que le μᵣ≈200 du SMC industriel — raison de plus pour ne jamais fixer N par le seul calcul et toujours calibrer bobine par bobine au bip-mètre.

2. Résistance et puissance Joule

Fil AWG28, Ø_fil = 0,32 mm, section S = π(0,16 mm)² ≈ 8,04×10⁻⁸ m². Sur le prototype réel, le bobinage part directement du diamètre extérieur du fourreau de rondelles (Ø≈20 mm, voir Modules & noyau imbriqué) et s'empile sur 16 couches : le diamètre moyen d'une spire, moyenné sur les 16 couches, est plus proche de d_m ≈ 20 + 0,32×16 ≈ 25 mm que des 18 mm d'un noyau coulé plus fin.

L_tot = N × π·d_m = 500 × π×0,025 ≈ 39,3 m

R = ρ_Cu × L_tot / S = 1,72×10⁻⁸ × 39,3 / 8,04×10⁻⁸ ≈ 8,4 Ω

P_j = R·I² = 8,4 × 0,11² ≈ 0,10 W

⚠️ Au-dessus des 0,07 W de référence — le noyau plus large (rondelles Ø20mm dès le départ, contre un noyau coulé plus fin) allonge chaque spire d'environ 40 %, donc la résistance et la puissance Joule aussi. Le chiffre de 0,07 W circule depuis la version SMC de référence ; sur le prototype réel, attends-toi à ≈0,10 W par bobine côté calcul — et vérifie-le au wattmètre plutôt que de reprendre la valeur de référence telle quelle.

Consommation brute au pire cas (les 16 modules — 8 rotor + 8 stator — actifs simultanément, hypothèse majorante) :

P_elec,max = 16 × 0,073 ≈ 1,17 W

En pratique, chaque canal stator n'est actif que pendant sa fenêtre d'approche (voir Électronique — logique de commande), et le canal rotor est unique et partagé : la consommation moyenne réelle est significativement plus basse — à mesurer au wattmètre (voir Tests).

3. Force de répulsion entre deux N42 Ø10×10mm

Modèle de plaque de charge magnétique (formule de force de maintien/décollement, standard pour un aimant contre une surface saturée — ici entre deux faces polaires identiques) :

F_contact = B_r² · A / (2·μ₀)

Avec B_r = 1,3 T et A = π×(5 mm)² ≈ 7,85×10⁻⁵ m² :

F_contact ≈ 1,69 × 7,85×10⁻⁵ / (2×1,257×10⁻⁶) ≈ 53 N

C'est la force au contact. À l'entrefer retenu (d = 2 mm, soit 20 % du diamètre de l'aimant), la force chute significativement — les modèles de champ proche pour cette géométrie donnent typiquement 25 à 40 % de la valeur de contact, soit :

F_rep(2mm) ≈ 13 à 21 N — valeur retenue pour la suite : 15 N

⚠️ Estimation, pas une mesure — le passage contact→entrefer n'a pas de formule fermée simple pour deux disques finis (il faut normalement une intégrale à solution elliptique). La valeur retenue ici (15 N) est un ordre de grandeur d'ingénierie. La seule vraie valeur est celle mesurée au dynamomètre (ressort taré ou capteur de force) à l'entrefer réel du prototype, aimant contre aimant, avant tout calcul de couple.

4. Couple instantané et couple moyen lissé

Couple de crête pour une impulsion, bras de levier r = 0,10 m :

C_inst = F_rep × r = 15 × 0,10 = 1,5 N·m

Motif -1, +1, +1, -1 : 8 aimants rotor × 2 impulsions chacun = 16 impulsions par tour (voir Disposition des pôles). Sur une course utile Δs ≈ 2×entrefer ≈ 4 mm où la répulsion reste significative, l'énergie injectée par impulsion :

E_impulsion ≈ F_rep × Δs = 15 × 0,004 = 0,06 J

E_tour = 16 × 0,06 ≈ 0,96 J

Couple moyen lissé sur un tour complet (2π rad) :

C_moyen = E_tour / (2π) ≈ 0,96 / 6,283 ≈ 0,15 N·m

5. Puissance mécanique à 750 tr/min

ω = 750 × 2π / 60 ≈ 78,5 rad/s

P_méca = C_moyen × ω ≈ 0,15 × 78,5 ≈ 12 W

Douze watts, pour un démonstrateur de 16 aimants Ø10mm : l'ordre de grandeur reste celui d'une petite maquette de laboratoire, pas d'un moteur de traction — cohérent avec l'échelle des composants du chapitre Approvisionnement.

6. Pourquoi il n'y a pas de « COP » à annoncer

En ne comparant que la puissance mécanique estimée (≈ 12 W) à la seule puissance Joule des bobines de compensation (≈ 1,2 W au pire cas), on obtient un rapport supérieur à 1 — et c'est précisément le signal qu'il ne faut pas calculer ce rapport de cette façon.

⚠️ Ce ratio n'est pas un rendement — comparer P_méca à P_{Joule,compensation} revient à ignorer la vraie source de l'énergie mécanique : elle ne vient pas du courant d'annulation (0,11 A), mais de l'énergie magnétique déjà stockée dans l'aimantation des N42 — figée une fois pour toutes en usine, lors de l'aimantation industrielle sous champ intense. Le courant de compensation ne fait que masquer ou révéler cette énergie au bon moment ; il n'en est pas la source, de la même façon qu'une électrovanne minuscule ne « crée » pas l'énergie d'un réservoir d'air comprimé qu'elle libère. Traiter la puissance mécanique comme si elle sortait gratuitement du seul courant d'annulation reviendrait à annoncer un COP supérieur à l'unité — une affirmation de survolté (« over-unity »), qui contredirait le premier principe de la thermodynamique. Aucune expérience indépendante n'a jamais confirmé un tel gain net et durable sur ce type de dispositif à aimants permanents commutés ; l'histoire des « moteurs à aimants permanents » en boucle fermée est jalonnée d'annonces de ce genre, toutes invalidées à la mesure sérieuse.

Où se cache donc le vrai coût, si ce n'est dans le courant continu de 0,11 A ? Trois pistes, toutes réelles et mesurables :

Transitoires de commutation — la bobine ne s'allume/s'éteint pas instantanément (di/dt fini). Pendant ces fronts, la variation de flux couplée au champ de l'aimant qui approche induit une réaction mécanique (loi de Lenz) qui n'apparaît pas dans un calcul I²R statique.
Démagnétisation cumulative — chaque bobine expose son aimant à un champ opposé calibré (voir Modules & noyau imbriqué, le choix du ratio L/D≈1 « résiste à la démagnétisation » — un aveu que le risque est réel). Un aimant qui perd du champ au fil des cycles restitue en réalité une partie de son énergie d'aimantation stockée en usine ; ce n'est pas une source infinie.
Pertes parasites — courants de Foucault résiduels dans l'empilement de rondelles si l'isolation inter-rondelles est imparfaite, pertes de commutation dans le snubber Zener (voir Électronique), frottements mécaniques des roulements : aucune n'apparaît dans un bilan qui ne compte que le courant continu des bobines.

La seule mesure qui vaille reste celle du chapitre Tests & sécurité : frein de Prony engagé dès la mise sous tension, wattmètre en entrée, tachymètre + couple en sortie. Rendement attendu, honnêtement : ≤ 1, sans doute nettement inférieur une fois frottements et pertes de commutation comptés — l'intérêt réel de l'annulation de flux n'est pas de « créer » de l'énergie, mais de supprimer le frein contre-électromoteur en roue libre (voir Applications mobilité).